非退化线性替换
非退化线性替换是初等变换。这里的方法是属于初等变换。具体的说用非退化线性替换x=Cy化二次型fxAx 为标准型，相当于对对称阵A找一个可逆矩阵c，使cAC=D为对角阵。
惯性指数就是看正负的个数，直接令y1y2y3＝3括号里面的y123前面都是正的，所以正惯性指数就是3，如果a＝2 矩阵C就不可逆，就无法写成x＝C逆y就无法直接令y＝括号里的了，要把他打开重新用拉格朗日配方或者用矩阵做。
非退化矩阵就是行列式不等于零。若n阶矩阵A的行列式|A|≠0，n阶方阵A是非退化的充要条件为A是可逆矩阵。一个n×n矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于n。
非退化线性替换是指一个过程(X=CY),还是就单指一个矩阵呢?
1、非退化的线性变换就是所作的线性变换是 满秩的。在二次型的规范形中，正的平方项的个数P为正惯性指数，负的平方项的个数R--P为负惯性指数，它们的差2P-R就是符号差。
2、一个n×n矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于n。设A，B都是数域F上的n×n矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的。
3、非退化线性替换是初等变换。这里的方法是属于初等变换。具体的说用非退化线性替换x=Cy化二次型fxAx 为标准型，相当于对对称阵A找一个可逆矩阵c，使cAC=D为对角阵。
4、惯性指数就是看正负的个数，直接令y1y2y3＝3括号里面的y123前面都是正的，所以正惯性指数就是3，如果a＝2 矩阵C就不可逆，就无法写成x＝C逆y就无法直接令y＝括号里的了，要把他打开重新用拉格朗日配方或者用矩阵做。
5、非退化线性变换，就是指变换前后，目标矩阵的秩不变。因此，变换矩阵本身也得是一个可逆矩阵。
6、实二次型可以经过非退化线性替换化为标准型，进而化为特殊标准型：各项系数绝对值为1（只需将刚才的变换矩阵再乘以一个对角阵）。如果两个实二次型有相同的正负惯性指数，那么他们均可经过非退化线性变换化为相同的标准型。
非退化线性替换和合同变换结果相同吗
1、合同是矩阵之间的一个等价关系，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。
2、通用矩阵是为克服波士顿矩阵的局限性而提出的改良分析矩阵，也称麦肯锡矩阵、企业实力矩阵。通用矩阵的纵坐标用行业吸引力代替了行业成长速度，横坐标用企业实力代替了相对市场份额。
3、在线性代数(esp二次型理论)中，称矩阵A和B合同(当且仅当)存在非退化矩阵P，使得 A=PBP 对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。
4、二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。
5、在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。
6、如果两个实二次型有相同的正负惯性指数，那么他们均可经过非退化线性变换化为相同的标准型。故矩阵A与B合同。可参考《高等代数》第三版，北大几何与代数教研室前代数小组编，高等教育出版社出版。