本文目录
- 收集不等式
- 高数中用来证明不等式的方法都有哪些
- 汤家凤极限四个重要不等式
- 求幂平均值不等式的均值证法，及舒尔不等式证法
收集不等式
收集再多有什么用，主要是会用几个重要的。下面根据我的竞赛经验给你按重要性排名的不等式：★琴生不等式（取不同的函数可衍生出很多不等式，如取根号下X的函数，可得出均值不等式）★排列不等式：两组数：a1＜a2＜…＜an b1＜b2＜…＜bn 有：顺序和（最大乘最大，第二大乘第二大，…）≥乱序和（乱乘）≥逆序和（最大乘最小，第二大乘倒数第二大,…) 例如：a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和）≥a1bn+a2bn-2+…+anb1(逆 序和）（此不等式可衍生出切比雪夫不等式，均值不等式等）★均值不等式+待定系数法（超强的组合，可以排到第三）：即设参数，根据目的，选择参数值。太多了，一时说不清（其实若不是世界奥林匹克，没太大必要），详见竞赛书或问老师就用以上三种就可衍生出其他各种不等式，另外柯西不等式使用范围不太广，用以上三种又可代替，随便你掌握不掌握。很多时候是三种不等式组合运用，威力无穷。好累啊，不是粘贴的哦，可是我经一番思考的文字哦。好，提前祝贺你取得奖项
高数中用来证明不等式的方法都有哪些
高数证明不等式的方法确如楼上所说. 而用初等数学证明不等式,特别是代数不等式,无论是技巧性还是是灵活性,都比高数方法强得多! 按我自己的体会,常用的有： (1)作差比较法. (2)作商比较法. (3)公式法. (4)放缩法. (5)分析法. (6)归纳猜想、数学归纳法. (7)换元法. (8)构造.构造函数、复数、向量、数列等. (9)反证法. (10)综合法,即由因导果法. (11)函数单调性法. (12)凸函数法. (13)局部不等式法. (14)增量代换法. (15)磨光变换法. (16)导数法. (17)重要不等式法.如： 基本不等式； 柯西不等式； 赫尔德不等式； 排序不等式； 权方和不等式； 舒尔不等式； 贝努利不等式； 母不等式； 卡尔松不等式； … … 等等.
汤家凤极限四个重要不等式
汤家凤极限四个重要不等式：
1、调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数x1…n都是正实数。取等号的条件是x1=x2=…=xn。
2、柯西不等式。若x，y是实数空间R^n的两个向量，那么：(x*y)^2《=(x*x)*(y*y)也就是(Sigma(xi*yi))^2《=sigma(xi^2)*sigma(yi^2)。当x1/y1=x2/y2=…=xn/yn取等号。
3、切比雪夫总和不等式（还有切比雪夫概率不等式）如果a1,a2…an,b1,b2…bn满足a1≥ a2≥…≥an,b1≥b2≥…≥bn那么a1*b1+a2*b2+…+an*bn≥(a1+a2+…+an)*(b1+b2+…bn)/n≥a1*bn+a2*bn-1+…+an*b1（证明用到后面的排序不等式，n个排序不等式之和）。当a1=a2=…=an,b1=b2=…=bn时候取等号。
4、三角不等式。若x，y是实数空间R^n的两个向量，那么：|x|+|y|≥|x+y|也就是Sqrt(sigma(ai^2))+Sqrt(sigma(bi^2))》=Sqrt(sigma((ai+bi)^2))证明：直接将上面的向量不等式平方，|x*y|≥x*y。
其它不等式
1、琴生不等式（积分不等式）的一个特例，如果f在，f((x1+x2+..+xn)/n) ≤(f(x1)+f(x2)+…+f(xn))/n。证明：对于2^k利用归纳法，对于不是2的幂的补到2的幂次。然后这要证明n=2的情况就可以了。当n=2就是凸函数的定义（开始我想了好久如何证明= =）。
稍加推广的加权形式，如果t1,t2,…,tn∈(0,1)，且t1+t2+…+tn=1f(t1*x1+t2*x2+…+tn*xn)《=f(x1)*t1+f(x2)*t2+…+f(xn)*tn（关于凸性，且二阶导数》=0就可以了）。
2、舒尔不等式。a,b,c,t》=0a^t*(a-b)*(a-c)+b^t*(b-a)*(b-c)+c^t*(c-a)*(c-b)》=0 （长的很漂亮）证明不妨设a》=b》=c，自己证明(a-b)(a^t*(a-c)-b^t*(b-c))+c^t*(c-a)*(c-b)》=0而左边每一项都是大于等于0的。取等号条件：
（1） a=b=c
（2） 两个相等，另一个为0
由上面的证明过程，得到推广任意x》=y》=z把(a^t,b^t,c^t)替换成(x,y,z)仍然成立。
求幂平均值不等式的均值证法，及舒尔不等式证法
据我所知几年以前的竞赛书上都只介绍结论,但不给出证明.原因是什么呢?因为证明要用到二阶导数来判断幂函数的凸性,还要用到琴生不等式.而老教材中导数还没有进入教学内容.不证明幂平均不等式是不得已的事.希望可以帮到你：）舒尔不等式：对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：已知x,y,z》=0 则∑(x^t)(x-y)(x-z)》=0 当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。舒尔(schur)不等式的证明： 不妨设x》=y》=z ∑x(x-y)(x-z) =x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y) 》=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z) 》=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z) =(x-y)^2(y-z) 》=0 t不是1时同理可证 事实上，当t为任意实数时，我们仍可证明Schur不等式成立。 Schur不等式虽不是联赛大纲中规定掌握的不等式，但在联赛不等式证明题中仍能发挥重要作用。希望可以帮到你：）